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圏論とは(その1)

直観的説明: 圏(カテゴリ,category)とは「関数を対象とする代数」の1つであり、合成を主たる操作(operation)とするもの。

圏論とは(その2)

定義: Aが以下の条件を満たしているとき、Aを圏と呼ぶ。

  • (条件1)Catは次の2つのものから構成されている。
    • a) 操作(operation)の対象となるモノ(object)の集まり。
      • 以下、モノを“対象”、対象の集まりを “obj Cat” と命名し表記するとともに、個々のモノをA,B,C,...,X,Y,Z...で表記する
    • b) 操作の集まり。
      • 以下、操作を“射”、操作の集まりを“arr Cat” と命名し表記する。また、個々の操作は “→” すなわち矢印(arrow)あるいは射(morphism)で表記し、必要に応じてf,g,h,...,α,β,γ...と命名する
  • (条件2)個々の操作(矢印・射)にはそれぞれ2つのモノ(対象)が割り当てられている。
    • ここで、射fに対象AとBが割り当てられ、かつ、対象Aに対して射が作用し対象Bが得られるとき、Aを domain と Bを codomain と呼び、f:A→B と記す。
  • (条件3) 射f:A→B と 射g:B→C が与えられたとき、合成射(composite morphism)g◦f:A→C が存在する。
  • (条件4) 任意の対象Aに対して、恒等射 Ia:A→A が存在する。
  • (条件5) Identity law が成り立つ。すなわち、もしf:A→B ならば、Ib◦f=f と f◦Ia=f が成り立つ。
  • (条件6) Associative law が成り立つ。すなわち、もしf:A→B、g:B→C、h:C→D ならば、h◦(g◦h)=(h◦g)◦f:A→D が成り立つ。 

圏論とは(その3) <==確認中!

  • 準備1)名前の集合 {A, B, C, ..., Z}を考える。
    • この集合を"モノ集合"と呼び、モノ集合の要素を"モノ"と呼ぶ。
    • この段階では、AやBは何かを指し示す名前である。
    • 以下では名前(記号、ラベル)そのものではなく、その名前で呼ぶ”何者か”を考える。
      • 例:関数の名前 F とその関数の実態 λx.( 2x+3 )
    • その"何か"はゼロ個以上存在すると考える。
    • この段階では、まず名前を用意した、というところ。
    • 名前が指し示す実体が何かについては、まだ語られていなk。
  • 準備2)もう一つ名前の集合{f, g, h, ... }を考える。
    • この集合を"矢印集合"と呼び、矢印集合の要素を"矢印"と呼ぶ。
    • この段階では、fやgは何かを指し示す名前である。
    • その"何か"はゼロ個以上存在すると考える。
    • ここでも名前を準備しただけであり、その名前で呼ばれることになる実体に関しては、まだ何も触れていない。
  • 準備3)表記「矢印:名前→名前」の導入。
    • モノ集合から2つの名前、例えば、AとBを取り出し、矢印集合から1つの矢印fを取り出す。
    • そして例えば、f:A→B などと表記する。
  • 準備4)表記「矢印:名前→名前」を下図のように書く。
    •      (ここに図を挿入する)
    •       A o---f--→o B
    • ここでは表記を導入しただけであり、この表記(表現)が何を意味しているのかについては、まだ語られていない。
  • 準備5)矢印集合内のどの矢印も、「矢印:名前1→名前2」と書ける。
    • このように書ける名前1と名前2が常に存在する。
    • この時、名前1と名前2をそれぞれ、当該矢印のdomain、codomainと呼ぶ。
    • つまり、「矢印:domain → codomain」ということであり、前期表現の "domain" と "codomain" の箇所に当てはめることができるものは、ともに名前集合の要素である。
  • 準備6)fを矢印、Aをfのdomain,Bをfのcodomainとするとき、表現「f:A→B」を”射”と呼ぶ。
    • 「射f:A→B」は「射f」と略記することも許す。
  • 準備7) 射f:A→B と 射g:B→C が与えられたとき、合成射(composite morphism)「f:A→C」 が存在する、という条件を設ける。
    • 「射の合成」という概念を導入。
    • 射f:A→B と 射g:C→Dとに合成が定義されるためには、B=CあるいはD=Aが成り立っている必要がある。
    • B=Cならば、つまり、射f:A→B, 射g:B→D ならば、射fと射gの合成射「g◦f:A→D」が定義される。
    • D=Aならば、つまり、射f:A→B, 射g:C→A ならば、射fと射gの合成「f◦g:C→B」が定義される。
  • 準備8) 任意のモノAに対して、射 f:A→A が存在する。
    • このような射を特に「恒等射」と呼び、例えば、「I_A」あるいは単に「I」と書く。
    • この「I」は、Identity の”I”からの由来。
  • 準備9)恒等射に関しては、以下の法則が成り立つことを要求する。
    • もしf:A→B ならば、I_B◦f=f と f◦I_A=f が成り立つ。
    • これを通常、「Identity law が成り立つ」と呼ぶ。
  • 準備10)合成射が定義できる射に関しては、次の条件が成り立つことを課す。
    • もしf:A→B、g:B→C、h:C→D ならば、h◦(g◦f)=(h◦g)◦f:A→D が成り立つ。
    • これを通常「Associative law が成り立つ」と呼ぶ。
  • 以上の準備のもと、とある概念(数学的構造)が定義され、それを数学者たちは”圏”と呼んでいる。

圏論の例

  1. 例1(対象が1つ、射が1つの場合) Obj Cat = { A }, Arr Cat = { f } このとき、f = 1a : A->A
  2. 例2(対象が1つ、射が2つの場合) Obj Cat = { A }, Arr Cat = { f, g } このとき、f = 1a : A -> A, g: A -> A となる。
  3. 例3(対象が2つ、射が3つの場合) Obj Cat = { A, B }, Arr Cat = { f, g, h } このとき、f = 1a : A -> A, g: B -> B, h:A->B となる。
  4. 例4(対象が1つ、射が4つの場合)
  5. 例5(対象が0個、射が0個の場合)

圏論の歴史[1]

  • 1945年 EilenbergとMac Laneにより、原著論文 "General theory of natural equivalences"が発表される。この論文の中で圏論の定式化について述べられている。
  • 1940年代後半 代数的位相(algebraic topology)、特にホモロジー理論(homology theory)と抽象代数(abstract algebra)の分野で使われるようになった。
  • 1950年代 Grothendieckの研究グループが圏論を用い始め、代数幾何学(algebraic geometry)において成功を収めた。
  • 1969年代 F.W.Lawvereらは圏論を論理学(logic)に適用し、深遠で驚くべき関係性を見出した。
  • 1970年代 コンピュータサイエンス(computer science)、言語学(linguistics)、認知科学(cognitive science)、哲学(philosophy)をはじめ多くの分野にも多くの応用例が現れはじめた。

圏論のコンピュータサイエンスにおける意義・価値

  • 圏論がかかわっていると思われる分野:
    • 機械学習(一般化=adjunction)
    • 論理学(ユニフィケーション)
    • 形式言語理論(正規表現,オートマトン)

参考文献

[1] Steve Awodey, "Category Theory," Oxford Logic Guides 52, Oxford(2010).

[2] R. F. C. Walters, "Categries and Computer Science, Cambridge Computer Science Texts, Cambridge(1991).

[3] F. William Lawvere and Stephen H. Scahnuel, "Conceptual Mathematics," Cambridge(1997).

[4] Joseph A. Goguen, "What is Unification?"

[5] David I. Spivak, "Caregory Theory for the Science," MIT Press(2014).


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Last-modified: 2015-03-11 (水) 16:50:55 (1009d)