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Cauchy-Lipschitzの定理

次の微分方程式の問題

  • 微分方程式:dy/dx = f(x,y)
  • 初期条件:x=x0, y=y0

に対して、次の2条件が成り立つとする。

(1)領域D( x0 ≦ x ≦ x0 + a, y- - b≦ y ≦ y0 + b) でf(x,y)は連続
(2)この領域内の任意の2点(x,y),(x, y')に対して、

  |f(x,y') - f(x,y)| < A|y' - y|

  となるような定数Aが存在する。

このとき、

  • 初期条件を満たす連続解y=f(x)が存在し、かつ、
  • それは唯一つ(unique)

である。

上記の定理を【Cauchy-Lipschitzの定理】といい、(2)の条件式を リプシッツの条件と呼ぶ。

この定理の意義

微分方程式問題において、

  • いかなる条件の下に解が存在するのか(解存在の条件
  • その解は唯一なのか(唯一性の条件

を吟味するのは一般には容易ではない。Cauchy-Lipschitzの定理は、 この問題に対する解答である。

練習問題

  1. 問題1
    1. リプシッツの条件を満たす例をあげよ。
    2. 満たさない例を挙げ、複数の解を具体的に求めよ。
  2. 問題2 Cauchy-Lipschitzの定理を証明せよ。
  3. 問題3 本定理に関する新しい練習問題を作成せよ。 (下記のコメント欄に記入すること)

参考文献

  • 犬井鉄郎・末岡清市・石津武彦・朝香鉄一・大島信徳・近藤次郎:微分方程式,東京大学出版会(1960).(本記述は本書の補章§41.解の存在定理を参照した。)

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Last-modified: 2010-05-20 (木) 16:21:51 (2765d)